《中国古代数学思想》读书笔记（8）

2015-10-05 10:45:22 | 来源：新浪微博 | 投稿：中科大胡不归 | 编辑：小柯

原标题：《中国古代数学思想》读书笔记（8）

《中国古代数学思想》读书笔记（8）

作者：@中科大胡不归

【作者按：《中国古代数学思想》，孙宏安著，大连理工大学出版社2008年4月第一版，编入《数学科学文化理念传播丛书》。上一篇见http://weibo.com/p/1001603894342770101013。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我的群发。在电脑上点击我的置顶微博中的标签可以完全列出与分类阅读我的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五的历史哲理益智励志小说《女帝师玉机传》（http://bbs.tianya.cn/post-culture-858231-1.shtml），我最近的书评见http://weibo.com/p/1001603890377051472262。】

第三章：数学思想的系统化表述——《九章算术》。本篇记录此章的第3节。

3.3 实用思想——开放的归纳体系

1、《九章算术》的微观结构

先看《九章算术》中数学理论的一种表述形式，就是先给出“术”（算法），然后再举出用例的形式。

例1，衰（cui1）分章的一个理论——比例分配：

“衰分术曰：各置列衰，副并为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一。不满法者，以法命之。”按：把总量为A的物品按照给定的比例分配给n个人。“列衰”是各物品的分配比例，设为ai，i从1到n。列衰相加得到“法”，即Σai。每个人分到的是aiA /Σai。

“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，问各得几何？

答曰：大夫得一鹿、三分鹿之二。不更得一鹿、三分鹿之一。簪裹得一鹿。上造得三分鹿之二。公士得三分鹿之一。

术曰：列置爵数，各自为衰，副并为法。以五鹿乘未并者，各自为实。实如法得一鹿。”按：按照五种爵位分配猎物。

“今有牛、马、羊食人苗。苗主责之粟五斗。羊主曰：‘我羊食半马。’马主曰：‘我马食半牛。’今欲衰偿之，问各出几何？”

后面还有类似的问、答、术构成的题5个。这一章是由一个总的术——衰分术和7个问题的问、答、术组成。先给出的衰分术是关于比例分配的总的算法，后面的7个问题是应用这一总算法的例子，“术曰”是总算法应用于具体问题时的处理方法，“答曰”是把算法应用于每一个题得出的结果。

例2，方田章的一个理论——矩形面积。

“今有田广十五步，从十六步。问为田几何？

答曰：一亩。

又有田广十二步，从十四步。问为田几何？

答曰：一百六十八步。

方田术曰：广从步数相乘得积步。以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。”

这一结构方式与前例相反，是先举出几个例子，然后再给出解决这类问题的算法。

《九章算术》的数学理论都是以算法（术）表述出来的。术与问题结合在一起，结合方式有且只有上述两种，我们分别称之为“术—题”方式和“题—术”方式。这种微观结构可称为“术文挈领应用问题形式”，是中国后世数学著作的标准微观结构形式。按：从教学的观点看，理论和例题结合是优点，但理论没有推导是严重的缺点。这使得绝大部分学生把理论看成某种神秘的东西，只能死记硬背，固守已有的知识，不可能把这门学科推向前进。只有极少数的天纵英才才能从书中看出推导的逻辑，产生新思想。《几何原本》的理解门槛低得多，中人之才就能读下来，并且学会证明的方法。在遇到新情况时，《几何原本》的学生找到新办法的可能显然比《九章算术》的学生大得多。

下表给出《九章算术》各章提供的术和微观结构方式。

2、《九章算术》的宏观结构

宏观结构指各章之间的关系。九章之间主要不是逻辑上的推导关系。《九章算术》给出了不同于逻辑体系的另一种宏观结构方式——实用体系方式，以应用领域的关系作为与该领域相关的数学理论之间的关系。按：这用词，好像是中国古人知道逻辑体系的写作方法，却故意不用，另辟蹊径给出另一种同样巧妙的体系。Come on! 非不为也，实不能也！

这种应用领域也是朝廷相应部门的职责领域，因而《九章算术》各章的用途应反映在早期典籍的官员职责中，也应反映在汉代政府部门的职责上。下表列出这三方面的对应关系。